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 有時會看到一些類似這樣的問題: 現有300萬台幣，預計5年後存到500萬做為買房的頭期款，應如何投資? 一種常見的建議是「5年太短，短期內要用的錢建議定存」。 如果是毫無彈性，5年後一定要有500萬的話，這個建議當然也不錯。但實際上，恐怕很少人遠在5年前就已經選好要買哪一間也談好價格，只等再存5年而已。大多數人在買房上還是有一點彈性的，這間買不起就看別間，沒有500萬，450萬頭期款未必就不能買房了。 當然，5年後的頭期款的彈性，可能還是不如30年後的退休金那麼高。我們可以給這筆錢一個比較高的相對風險趨避係數，比如說RRA=10。 Merton's portfolio problem ，假設r=0.05, s=0.16, 1/RRA*x/s^2 =0.195。或許可以將500萬x19.5%=97.5萬投入風險資產比如股票，剩下部份投資於類債券資產比如定存。 固然令RRA=10只是一種武斷的假設，也許某些人的頭期款彈性應該用RRA=20或30，但直接令RRA=無限大似乎也不見得非常合理。

你知道嗎，瑞典的報稅資訊是開放其他人查詢的。只要打電話給稅務機關，就可以知道隔壁鄰居報了多少稅。瑞典的樂透研究提供了很好的機會可以檢視意外之財對勞動參與的影響。 根據Cesarini et al.(2017)的研究，樂透的中獎金額每提高10萬瑞典克郎(約33萬台幣)，中獎者之後的年薪較中獎前約減少1,150瑞典克郎(約3,800台幣)，中獎對年薪的影響持續可達10年以上。年薪減少的主要原因是工作時數減少。100萬瑞典克朗獎金造成每年工時減少約60小時。 如果按婚姻狀態分析，單身的中獎者中獎10萬瑞典克郎後，年薪減少約1,260瑞典克郎。已婚中獎者年薪約減少980瑞典克郎，其配偶則減少約460瑞典克郎。不將配偶納入分析會稍微低估中獎對年薪的影響。順帶一提，中獎似乎會稍微增加離婚機率，但統計上未達顯著。 次分析暗示高收入者在中樂透後年薪的減少更多，作者推論可能是因為高收入者的所得稅率較高。年齡、性別、教育程度不顯著影響年薪減少的程度。 註: 論文中指出，瑞典2000年的中位數薪資約17萬瑞典克朗。 Reference: Cesarini, David, Erik Lindqvist, Matthew J. Notowidigdo, and Robert Östling. 2017. "The Effect of Wealth on Individual and Household Labor Supply: Evidence from Swedish Lotteries." American Economic Review, 107 (12): 3917-46.

某甲想要貸款兩千萬買現值三千萬的房子，他對貸款會有那些期待? 他會希望利率越低越好。他不希望銀行可以隨時強迫他還貸款，或是房價下跌時要強迫補擔保品或強迫賣掉。他不希望借跟薪水不同的貨幣，以避免匯率風險。 類似地，某乙想要貸款買股票，他的期待也一樣。 a.低利率 b. non-callable c.與薪水相同貨幣。不幸的是，對於台灣投資人，這三點不太容易同時被滿足。也存在其他值得考慮的特性，比如: puttable，但相對沒有那麼重要。 具體有那些常見的借款工具呢? 台幣房貸 台幣信貸 美元融資 期貨 選擇權 台幣股票融資、美元信貸等等通常不太可行，但如果你有機會接觸到條件看似可行的選項的話，也不妨研究看看。 1.台幣房貸: 如果某乙的資產中已經有不動產了，以不動產做為擔保品，最容易得到能同時滿足三個條件的貸款。但現有資產中是否已有不動產，往往要看祖先有沒有遺留下來，沒有的話也沒辦法。 2.台幣信貸: 如果不能借房貸，台幣信貸通常能滿足條件b與條件c，至於條件a則要看個人的信用與收入狀態。另外，信貸通常無法借到兩千萬，常見的一個限制是月收入的22倍。 3.美元股票融資: 國外券商 Interactive broker 提供低利率的股票融資借款，前10萬美元目前年利率1.57%，借得更多利率還可以更低。在條件a來說還不錯，但條件b與條件c都不滿足。具體能借的金額根據帳戶內資產而定，portfolio margin甚至可以借到9倍以上。但借得倍數多，遇到margin call的風險也大。 4.期貨: 最有名的大概是CBOE交易所的e-mini/micro S&P 500(ES/MES)，目前隱含利率約1%。一口ES目前價值約190,000USD，保證金需求為11,000USD，槓桿開到滿，倍率高達17倍。一口MES目前價值約19,000USD。條件a來說甚至比美元股票融資更好，但條件b與條件c也都不滿足。另外ES每3個月要轉倉一次。其他可能的選擇比如EUREX交易所的歐元計價期貨，隱含利率甚至可能低於0，不過台灣人可能比較不熟悉。 5.美股選擇權: 常用的方法包括synthetic long與Deep-in-money call。 Synthetic long的特性頗類似期貨。Deep-in-money call則具有non-callable特性，滿足條件b。但S

假設某甲有不錯的收入，不錯的工作穩定度，一千萬元台幣的存款。他有個聽起來還算普通的理想:「退休時有一棟在台北市的房子，還有一千萬元台幣定存。」。面對這個狀況，一般人會怎麼做?也許某甲會決定跟銀行借兩千萬貸款，買現值三千萬的房子，然後花三十年還貸款跟存款。這做法聽起來也還算普通。 假設某乙是某甲的同事，有類似的年齡、收入、工作穩定度與存款。某乙的理想是「退休時有相當數量的股票，還有一千萬元台幣定存。」。他會怎麼做? Lifecycle investing會建議某乙可能的話跟銀行借兩千萬貸款，買現值三千萬的股票，然後花三十年還貸款跟存款。 某甲也許一開始決定貸款兩千萬買房子，但研究細節之後，可能會發現貸不到、貸款利率太貴、還不起等等，最後決定妥協只買現值兩千萬的房子，或者乾脆暫時放棄買房。類似地，某乙在研究細節之後，也許會決定借少一點或乾脆不借，但這部分容後再談。基礎想法是如果某甲貸款買房是值得考慮的，則某乙貸款買股票也值得探討其可行性。 Lifecycle investing最基礎的想法就是這樣。如果你覺得這個想法有道理，那可以繼續探討細節的可行性。如果你覺得這完全是胡說八道，或許就只是Lifecycle investing並不適合你。就像某甲的做法聽起來很普通，但也許也有人反對。 進一步閱讀: Lifecycle investing-2-貸款的方式 Lifecycle investing-3-資產的配置 (還沒寫) <<Lifecycle Investing>> by  Ian Ayres & Barry Nalebuff

有些朋友們往往小孩剛出生就被推銷癌症險。其中一種推銷的話術是「五歲前是癌症高危險群」。然而，這句話在討論兒童醫學時是正確的，在討論保險時則有待商榷。 如果以兒童族群(0-14歲)做比較，如圖所示[1]，癌症最高發生率落在1歲以前，6~10歲間最低，之後又逐漸增加。但即便是0歲的癌症發生率，也才十萬分之25。 但若把年輕成人也納入比較，以 台灣癌症登記中心 的資料(2003～2007)，0-4歲的癌症發生率是十萬分之20.4/17.0 (男/女)，20-24歲的癌症發生率是十萬分之21.7/24.4，25-29歲的癌症發生率是十萬分之34.4/43.9。 0-4歲兒童的癌症發生率其實小於20-24歲成人。 不過，如果保險公司的定價方式是基於風險中立再加上固定比例費用，對風險趨避的客戶而言，發生機率越低的保險越可能有正的 utility。所以正確的說法或許是「你得癌症的機率很低，買癌症險最划算了。」。但如果定價方式是基於風險中立再加上固定金額費用就不是很理想。 Reference: 1. Hung, Giun-Yi et al. “Infant Cancer in Taiwan: Incidence and Trends (1995-2009).” PloS one vol. 10,6 e0130444. 25 Jun. 2015, doi:10.1371/journal.pone.0130444

所謂 定期定額( Dollar cost averaging) ，是指當投資人有大筆資金要投資時，不選擇 單筆投入( lump sum) ，而是選擇分成幾筆，按事先固定的時間投入 (註1) 。 要選擇定期定額 或是 單筆投入 是個歷久不衰的話題。雖然學術界三、四十年前似乎對此早有定論， 但定期定額這個想法在一般投資人間，仍然頗受歡迎 。 假設股票風險溢酬為正且股票回報滿足獨立同分布(Independent and identically distributed)，單筆投入早在多年前就已被證明回報率優於定期定額。然而，現實世界的經驗並不完全支持這些前提。 Brennan(2005)指出 (註2) ，假設股票回報存在相當程度的均值回歸(mean reversion)，則定期定額可能會勝過單筆投入。(Brennan衡量"勝過"的方式是基於utility function的一種變體型式 (註3) )。再者，他觀察到 相對於全市場， 對單一股票的定期定額更容易勝過同一股票的單筆投資。 至於單一股票是否較全市場有較高的均值回歸則沒有被探討。 如果一定要買個股的話，定期定額或許可行？至於理性投資人是否會選擇大舉投資個股，另當別論。Brennan在論文中也指出即使採用定期定額方式購買個股，其效用也低於投資全市場。 話說回來，股票市場均值回歸的程度是個實務問題，過去經驗只能提供對未來的部分預測，至於預測正確與否只能事後檢驗。另外，即使假設定期定額或許部分有效，最佳的期數與時間間隔也不見得能事先決定。 其他可能選擇定期定額的理由，可能包括： 衡量風險的方式並非基於波動與回報、 借款受限的投資人、 行為經濟學、 認知偏誤等等。 註1:除非假設投資人能用無風險利率無限制借貸，否則因為每個月薪水只有這麼多所以只能分次投入並不是典型的DCA vs lump sum問題 。 註2: Brennan的論文分別做了歷史資料回測與數值模擬， 兩者得到類似結論， 並沒有提供嚴格數學證明。 註3: 「確定的5%回報率」在效用上優於「平均5%，標準差16%的回報率」。 如果你在「確定的4.4%回報率」，與「平均5%，標準差16%的回報率」間沒有偏好， 則4.4%是你對「平均5%，標準差16%的回報率」的certainty equivalent。 Brennan比較的是DCA與lump s

不太確定這個想法數學上是否robust(註1)，姑且聽聽看。 ====== Merton's solution 的 理想股債比 是  (1/η)*x/(s^2)，其中η是 相對風險趨避係數 ，x是股票溢酬，s是標準差。當借錢投資的時候，如果借款利率高於無風險利率，則槓桿部分的x會減少，但s不變。 If η=3, x=0.05, s=0.16，理想股債比是 65% 若借款利率是無風險利率+1%，理想股債比變成 52% 若借款利率是無風險利率+2%，理想股債比變成 39% 如果現有資產遠遠少於未來人力資本，則只要借款利差低於股票溢酬，仍然應該借好借滿。但如果現有資產已占人生總資產的相當比例，則隨著借款利率增加，理想股債比降低，達到理想股票配置的槓桿需求也會下降。再考慮到股票溢酬的不確定性、破產的disutility等等。某些狀況下也許持有100%股票配置會比較理想，使用槓桿並不會增加utility。 舉例來說，某人現有金融資產1000萬，未來人力資本折現1000萬。(姑且不討論應該如何折現才正確)。假設η=3, x=0.05, s=0.16，理想股債比是 65%，如果能以無風險利率借貸，應該借300萬達到1300萬股票部位。如果只能以無風險利率+1%借貸，x=(0.05-0.01)，理想股債比是 52%，應該借40萬達到1040萬股票部位。如果只能以無風險利率+2%借貸，x=(0.05-0.02)，理想股債比是 39%，與其借貸開槓桿，保持無槓桿的1000萬股票部位會更理想。 另外，匯率風險通常認為長期來說是中立的(註2)，但匯率風險會增加Variance，s^2的部分會增加，同樣會降低理想股債比。但作用的方式不太一樣。 假設USDTWD滿足常態分佈，標準差0.05。variance的上下界是 (0.16-0.05)^2 ~ (0.16+0.05)^2。(上下界應該可以再縮窄，但以我的數學能力有點困難。)。理想股債比要乘以 2.11~0.58。但似乎沒有很好的理由相信增加currency risk反而會減少變異度。或許在 1~0.58之間猜一個你覺得合理的數字。 原則上，Merton's portfolio problem在分配兩種資產時比較容易求解。在某些限制條件下，三種資產分配可以簡化成兩種資產分配問題。比如說，分配「股票」、「無風險利率債券」、「無

Bodie(1992)指出，如果工作者有選擇加班的自由，在預期效用最大化的前提下，工作者會採取更積極的資產配置，即使最後他沒有真的選擇加班。 假設一個中年人現有1000萬元金融資產，未來人力資本現值1000萬元，理想股債比50%(註)。將未來人力資本納入考慮，他應該配置1000萬的股票部位。(姑且忽略失業、折現、通膨等) 若這個中年人的薪水不變，但有選擇加班量的自由。如果他選擇加好加滿的話，最大人力資本現值1500萬元。他應該按照2500萬元的50%，配置1250萬股票部位，或者125%槓桿。然後根據他的效用函數決定要購買消費品與「買回閒暇」的量。根據他「買回閒暇」的量，最後的解可能不會導致他真的加好加滿。 直覺上，這個推論聽起來也算合理。即使目前沒有真的要加班，但擁有如果股票表現不佳時可以加班彌補的選擇，可採取更積極的資產配置。這個推論還指出了應積極配置到何種程度。 Bodie的論文還有另一個推論: 如果工作者有權事前決定一個最佳的固定「閒暇」比例，決定後就不能改了。得到的解跟可以浮動調整「閒暇」的最佳比例不同，且後者的效用永遠大於等於前者。 註: 理想股債比可能從不同方式導出。一種方式是 基於CRRA效用函數 。重點是理想股債比通常不受時間或財富水準影響。 Reference: Zvi Bodie; Robert Merton and William F. Samuelson, (1992), Labor supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model, Journal of Economic Dynamics and Control, 16, (3-4), 427-449

  相對風險趨避係數η 在 應用 上須考慮一些限制。 1.某些人類的行為並不基於預期效用最大化。 不基於預期效用最大化的行為可能會導致損失預期效用。我們不見得要相信預期效用最大化是唯一正確的方式，況且要如何確定自己的效用函數對大多數人並不容易。不過，如果你發現自己的某些行為似乎並不基於效用最大化，不妨停下來思考一下，基於效用最大化的作法是否有可能真的比較好。

相對風險趨避係數η 在 資產配置 的應用，數學上相對比較複雜，也許不是每位朋友都會認同。讓我們嘗試一些比較直觀的應用。 比如說，保險: 假設總資產1000萬，其中汽車價值100萬。預期一年內平安無事機率99%，發生車禍完全撞毀機率1%，是否該買要價x萬元的車體險?

在 上一篇 ，我們已估計了自己的相對風險趨避係數η。我們可以嘗試一個應用: 決定資產配置。 先考慮較簡單的狀況: 沒有現金流。在兩種資產間配置，一種為無風險資產，姑且稱為債券，一種為風險資產，姑且稱為股票。假設預期股票溢酬(stock premium)為x，標準差s，滿足對數常態分布。 最大化utility的風險資產比例 = (1/η)*x/(s^2)  (Merton's Solution) 舉例來說: η=3, x=0.05, s=0.16 => (1/η)*x/(s^2)=0.65。理想配置是65%股票，35%債券。 η=1, x=0.05, s=0.16 => (1/η)*x/(s^2)=1.95。理想配置是195%股票，-95%債券，需要槓桿(註)。 值得一提的是，這方法並不需要無風險資產的回報率，而是使用股票溢酬。 如果覺得算出來的配置很合理，當然不錯。如果直覺就覺得怪怪的，有幾個可能性: 1.不了解自己。對η的估計有較大差距。 2.不了解市場。對預期股票溢酬與標準差的估計有較大差距。 3.模型不適用。實際utility function與Isoelastic utility有較大差距。 如果有多種資產或不滿足常態分佈的資產，則不一定可以求解析解，但可以用數值方法求近似解。 如果有未來收入呢?有些可能的處理方式。 1.維持相同資產配比。傳統作法。 2.將未來收入視為債券，從債券部位扣除。  <<Lifecycle investing>> 建議這種作法。 本篇主要concept來自boglehead論壇的使用者Uncorrelated。Uncorrelated還提供了求近似解的程式碼。 註: Merton's Solution假設可以用無風險利率借貸。如果借款利率高於無風險利率，可參見 這篇 。 Reference: Uncorrelated (2020, March 05). Risk tolerance and asset allocation with mathematics. Retrieved 2021, March 01, from https://www.bogleheads.org/forum/viewtopic.php?t=305919 Uncorrelated (2020, Augus

 對大部分的人來說，賠一萬元的痛苦超過多賺一萬元的滿足。或者說，大部分的人是風險趨避(risk aversion)的。經濟學家用效用函數(Utility function)來描述這件事。然而，每個人的風險趨避程度不盡相同，而了解你自己在財務規劃上是很重要的。我們可以試著估計自己的風險趨避程度。