定期定額(DCA or lump sum)

所謂定期定額(Dollar cost averaging)，是指當投資人有大筆資金要投資時，不選擇單筆投入(lump sum)，而是選擇分成幾筆，按事先固定的時間投入(註1)。要選擇定期定額或是單筆投入是個歷久不衰的話題。雖然學術界三、四十年前似乎對此早有定論，但定期定額這個想法在一般投資人間，仍然頗受歡迎。

假設股票風險溢酬為正且股票回報滿足獨立同分布(Independent and identically distributed)，單筆投入早在多年前就已被證明回報率優於定期定額。然而，現實世界的經驗並不完全支持這些前提。

Brennan(2005)指出(註2)，假設股票回報存在相當程度的均值回歸(mean reversion)，則定期定額可能會勝過單筆投入。(Brennan衡量"勝過"的方式是基於utility function的一種變體型式(註3))。再者，他觀察到相對於全市場，對單一股票的定期定額更容易勝過同一股票的單筆投資。至於單一股票是否較全市場有較高的均值回歸則沒有被探討。

如果一定要買個股的話，定期定額或許可行？至於理性投資人是否會選擇大舉投資個股，另當別論。Brennan在論文中也指出即使採用定期定額方式購買個股，其效用也低於投資全市場。

話說回來，股票市場均值回歸的程度是個實務問題，過去經驗只能提供對未來的部分預測，至於預測正確與否只能事後檢驗。另外，即使假設定期定額或許部分有效，最佳的期數與時間間隔也不見得能事先決定。

其他可能選擇定期定額的理由，可能包括：衡量風險的方式並非基於波動與回報、借款受限的投資人、行為經濟學、認知偏誤等等。

註1:除非假設投資人能用無風險利率無限制借貸，否則因為每個月薪水只有這麼多所以只能分次投入並不是典型的DCA vs lump sum問題。

註2:Brennan的論文分別做了歷史資料回測與數值模擬，兩者得到類似結論，並沒有提供嚴格數學證明。

註3:「確定的5%回報率」在效用上優於「平均5%，標準差16%的回報率」。如果你在「確定的4.4%回報率」，與「平均5%，標準差16%的回報率」間沒有偏好，則4.4%是你對「平均5%，標準差16%的回報率」的certainty equivalent。Brennan比較的是DCA與lump sum的certainty equivalent。

Reference:
Brennan, M. J., F. Li, and W. N. Torous (2005). Dollar cost averaging. Review of Finance 9(4), 509–535.

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