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假設有一家保險公司能夠精準計算你的各項風險並承保。但是在精算出你的風險保費之後，要乘上一定的倍率收取保費。你應該保多少額度呢? 假設效用函數滿足Constant Relative Risk Aversion，且事件發生率不太大，理想的「不」保險額度約等於 1 - x^(-1/y)，其中 x 是收費倍率，y是 相對風險趨避係數(RRA) 。 (註1) 舉例來說，一個RRA=2的人，在倍率=1.3的狀況下，理想的「不」保險額度約等於12.29%。這個百分比是相對於總資產 (註2) 的額度。如果總資產有1000萬元，有一個事件的可能損害是300萬元，則應該為這個事件投保300萬-1000萬*12.29%=177.1萬的保險額度。事件可能損害如果低於122.9萬的話則應選擇完全不投保。 上面有提到，「事件發生率不太大的話」。理想的「不」保險額度會隨事件發生率提高而提高，隨可能損害降低而提高。不過以發生率10%來說，理想的「不」保險額度最多從12.29%上升到13.76%左右。 以汽車第三人責任險來說，如果能只保超額險的部分可能就比較理想了。可惜保險公司很少讓人稱心如意。 註1: 如果對計算過程有興趣，可參見 此 。 註2: 未來收入是否應折現計入總資產看個人觀點。我個人認為應該計入。

  x= 收費倍率 y=RRA z= 損害 w= 不保險額度 u= 事件發生率 效用函數 U(x,y,z,w,u)=( (1-w-(z-w)*u*x)^(1-y)-1)/(1-y)*u + ( (1 -(z-w)*u*x)^(1-y)-1)/(1-y)*(1-u) ∂U/∂w =  ((1 - u) u x)/(1 - u x (-w + z))^y + (u (-1 + u x))/(1 - w - u x (-w + z))^y If u is small enough,  ((1 - u) u x)/(1 - u x (-w + z))^y + (u (-1 + u x))/(1 - w - u x (-w + z))^y   ≈  u*(x- 1/(1-w)^y) u*(x- 1/(1-w)^y) = 0   =>   w = 1-x^(-1/y)

「風險自留」在保險上是個重要的觀念。對於低損害的事件，沒有保險的必要，可以自行承擔損失。那麼，什麼程度的損害才算夠低，而適合風險自留呢?在此試著透過 效用函數 的觀點提出一種解答。(假設效用函數滿足Constant Relative Risk Aversion) 假設有一家保險公司能夠精準計算你的各項風險並承保。但是保險公司畢竟不是慈善事業，在精算出你的風險保費之後，要乘上130%收取保費。哪些風險應該保險而哪些保險應該自留呢? 這個問題的答案，當然要看你對風險的趨避程度。越是不喜歡風險，即使較低的損害也可能有保險的必要。 上表的意義是，在130%保費下，如果相對風險趨避係數(RRA)為1，事件的損害等於總資產(註1)的45%，則當事件發生率小於7.28%時，保險的期望效用高於不保險的期望效用，應該保險。(註2) 但是，很容易注意到，上表有很多格子都是0。這些為0的格子，代表不管事件的發生率是多少，保險的期望效用都低於不保險的期望效用，應該不保險。 在130%保費下，如果你的RRA是1，總資產40%以下的損害應該不保險。RRA是2，總資產20%以下的損害應該不保險。RRA是3，總資產15%以下的損害應該不保險。 不過，上表是在完全保險與不保險之間做比較。如果允許只保一半呢? (理賠減半，保費也減半) 可以看到，為0的格子數減少了。 如果允許只保0.1倍風險的話，RRA=1在Damage= -0.25仍然有解。至於只保0.1倍風險是否實用另當別論。不過似乎找不到保險倍率能讓RRA=1在Damage= -0.2有解。(沒有解的Damage，RRA=1似乎是落在-0.23左右，RRA=2約-0.12，RRA=3約-0.08，RRA=4約-0.06。) 註1:我會建議將未來人力資本折現計入總資產。但也許有些人比較喜歡用現有總資產來計算。 註2:  如果想自行驗算表中數字，方程式是 ln( 1 + Damage)*x = ln(1 + Damage*x*1.3) ; if RRA=1 (1-(1+Damage)^(1-RRA))/(1-RRA)*x = (1 - (1+Damage*x*1.3)^(1-RRA))/(1-RRA) ; if RRA≠1 只保一半的方程式是 ln( 1 + Damage)*x = ln(1 + Damage*x*1.3*0.5+ Dama...

 有時會看到一些類似這樣的問題: 現有300萬台幣，預計5年後存到500萬做為買房的頭期款，應如何投資? 一種常見的建議是「5年太短，短期內要用的錢建議定存」。 如果是毫無彈性，5年後一定要有500萬的話，這個建議當然也不錯。但實際上，恐怕很少人遠在5年前就已經選好要買哪一間也談好價格，只等再存5年而已。大多數人在買房上還是有一點彈性的，這間買不起就看別間，沒有500萬，450萬頭期款未必就不能買房了。 當然，5年後的頭期款的彈性，可能還是不如30年後的退休金那麼高。我們可以給這筆錢一個比較高的相對風險趨避係數，比如說RRA=10。 Merton's portfolio problem ，假設r=0.05, s=0.16, 1/RRA*x/s^2 =0.195。或許可以將500萬x19.5%=97.5萬投入風險資產比如股票，剩下部份投資於類債券資產比如定存。 固然令RRA=10只是一種武斷的假設，也許某些人的頭期款彈性應該用RRA=20或30，但直接令RRA=無限大似乎也不見得非常合理。

  相對風險趨避係數η 在 應用 上須考慮一些限制。 1.某些人類的行為並不基於預期效用最大化。 不基於預期效用最大化的行為可能會導致損失預期效用。我們不見得要相信預期效用最大化是唯一正確的方式，況且要如何確定自己的效用函數對大多數人並不容易。不過，如果你發現自己的某些行為似乎並不基於效用最大化，不妨停下來思考一下，基於效用最大化的作法是否有可能真的比較好。

相對風險趨避係數η 在 資產配置 的應用，數學上相對比較複雜，也許不是每位朋友都會認同。讓我們嘗試一些比較直觀的應用。 比如說，保險: 假設總資產1000萬，其中汽車價值100萬。預期一年內平安無事機率99%，發生車禍完全撞毀機率1%，是否該買要價x萬元的車體險?

在 上一篇 ，我們已估計了自己的相對風險趨避係數η。我們可以嘗試一個應用: 決定資產配置。 先考慮較簡單的狀況: 沒有現金流。在兩種資產間配置，一種為無風險資產，姑且稱為債券，一種為風險資產，姑且稱為股票。假設預期股票溢酬(stock premium)為x，標準差s，滿足對數常態分布。 最大化utility的風險資產比例 = (1/η)*x/(s^2)  (Merton's Solution) 舉例來說: η=3, x=0.05, s=0.16 => (1/η)*x/(s^2)=0.65。理想配置是65%股票，35%債券。 η=1, x=0.05, s=0.16 => (1/η)*x/(s^2)=1.95。理想配置是195%股票，-95%債券，需要槓桿(註)。 值得一提的是，這方法並不需要無風險資產的回報率，而是使用股票溢酬。 如果覺得算出來的配置很合理，當然不錯。如果直覺就覺得怪怪的，有幾個可能性: 1.不了解自己。對η的估計有較大差距。 2.不了解市場。對預期股票溢酬與標準差的估計有較大差距。 3.模型不適用。實際utility function與Isoelastic utility有較大差距。 如果有多種資產或不滿足常態分佈的資產，則不一定可以求解析解，但可以用數值方法求近似解。 如果有未來收入呢?有些可能的處理方式。 1.維持相同資產配比。傳統作法。 2.將未來收入視為債券，從債券部位扣除。  <<Lifecycle investing>> 建議這種作法。 本篇主要concept來自boglehead論壇的使用者Uncorrelated。Uncorrelated還提供了求近似解的程式碼。 註: Merton's Solution假設可以用無風險利率借貸。如果借款利率高於無風險利率，可參見 這篇 。 Reference: Uncorrelated (2020, March 05). Risk tolerance and asset allocation with mathematics. Retrieved 2021, March 01, from https://www.bogleheads.org/forum/viewtopic.php?t=305919 Uncorrelated (2020,...

 對大部分的人來說，賠一萬元的痛苦超過多賺一萬元的滿足。或者說，大部分的人是風險趨避(risk aversion)的。經濟學家用效用函數(Utility function)來描述這件事。然而，每個人的風險趨避程度不盡相同，而了解你自己在財務規劃上是很重要的。我們可以試著估計自己的風險趨避程度。