高於無風險利率的槓桿成本(higher than risk-free rate)

不太確定這個想法數學上是否robust(註1)，姑且聽聽看。

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Merton's solution 的理想股債比是  (1/η)*x/(s^2)，其中η是相對風險趨避係數，x是股票溢酬，s是標準差。當借錢投資的時候，如果借款利率高於無風險利率，則槓桿部分的x會減少，但s不變。

If η=3, x=0.05, s=0.16，理想股債比是 65%
若借款利率是無風險利率+1%，理想股債比變成 52%
若借款利率是無風險利率+2%，理想股債比變成 39%

如果現有資產遠遠少於未來人力資本，則只要借款利差低於股票溢酬，仍然應該借好借滿。但如果現有資產已占人生總資產的相當比例，則隨著借款利率增加，理想股債比降低，達到理想股票配置的槓桿需求也會下降。再考慮到股票溢酬的不確定性、破產的disutility等等。某些狀況下也許持有100%股票配置會比較理想，使用槓桿並不會增加utility。

舉例來說，某人現有金融資產1000萬，未來人力資本折現1000萬。(姑且不討論應該如何折現才正確)。假設η=3, x=0.05, s=0.16，理想股債比是 65%，如果能以無風險利率借貸，應該借300萬達到1300萬股票部位。如果只能以無風險利率+1%借貸，x=(0.05-0.01)，理想股債比是 52%，應該借40萬達到1040萬股票部位。如果只能以無風險利率+2%借貸，x=(0.05-0.02)，理想股債比是 39%，與其借貸開槓桿，保持無槓桿的1000萬股票部位會更理想。

另外，匯率風險通常認為長期來說是中立的(註2)，但匯率風險會增加Variance，s^2的部分會增加，同樣會降低理想股債比。但作用的方式不太一樣。

假設USDTWD滿足常態分佈，標準差0.05。variance的上下界是 (0.16-0.05)^2 ~ (0.16+0.05)^2。(上下界應該可以再縮窄，但以我的數學能力有點困難。)。理想股債比要乘以 2.11~0.58。但似乎沒有很好的理由相信增加currency risk反而會減少變異度。或許在 1~0.58之間猜一個你覺得合理的數字。

原則上，Merton's portfolio problem在分配兩種資產時比較容易求解。在某些限制條件下，三種資產分配可以簡化成兩種資產分配問題。比如說，分配「股票」、「無風險利率債券」、「無風險利率+1%貸款」時，「無風險利率債券」與「無風險利率+1%貸款」不會同時存在，否則賣掉債券還貸款永遠會比較好。(不完全是，因為債券其實有term risk，但以short-term bond來說還好。)。但當試圖分配「股票」、「無風險利率+1%美元貸款」、「無風險利率+1.5%台幣貸款」時，就無法輕易加以簡化了，可能只能透過數值方法求解。

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也有些paper用數值方法測試不同借款限制下的理想配置。Take it with some grain of salt.

譬如 Steven J. Davis & Felix Kubler & Paul Willen, 2006. "Borrowing Costs and the Demand for Equity over the Life Cycle," The Review of Economics and Statistics, MIT Press, vol. 88(2), pages 348-362, May.

註1: 這篇論文似乎有給出關於借貸利率與股債比的證明: Yang, Z., Liang, G. & Zhou, C. Constrained portfolio-consumption strategies with uncertain parameters and borrowing costs. Math Finan Econ 13, 393–427 (2019). 

註2: 如果開槓桿的理由是Lifecycle investing觀點，借款是為了將未來收入資本化。假設未來收入以台幣為主，借台幣信貸，還台幣，是沒有匯率風險的。反而通過期貨、選擇權或margin取得的槓桿，是借美元還台幣，是有匯率風險的。