手續費低消、投資頻率與風險趨避 (Minimum commission, investing frequency and risk aversion)

複委託的手續費低消往往不低，受此影響，很多人會累積相當金額，待手續費超過低消之後才一次投資，但這不見得是最佳解。SweetLee在PTT的Foreign_Inv版的文章[心得] 複委託的手續費低消，探討了手續費低消與最佳化投資頻率的關係，得出 T = sqrt(2M/A/r) (手續費低消M,單位時間累積儲蓄A,單位時間內期望報酬率r,每筆的投資間隔是T)。

SweetLee得出的解是風險中立的。對風險中立的解來說，只要報酬率的平均值相同，報酬率的distribution是不影響解的，這點在求解上很方便。

那麼，風險規避的投資人的最佳解為何呢? 第一感可能會覺得，手續費是確定的開支,報酬是無保證的未來收益，風險規避的投資人應該拉長投資間隔，專注於減少手續費開支。不過真的如此嗎?

這類問題在數學上往往沒有顯然的解析解，而需要用數值方法求解。Baccarin, S., & Marazzina, D. (2013) 的定性觀察是，風險規避較高的投資人會較常付出交易費用，將portfolio調回理想比重。另一個定性觀察是，波動率越大，風險規避的投資人越傾向於再平衡。

當交易金額相對總資產不大時，風險中立的解跟風險規避的解的實際差距並不大。實務上直接套用SweetLee的解，大概也沒有太大的問題。在此只是提出一個看似反直覺的定性觀察，跟各位分享。


Reference: 
Baccarin, S., & Marazzina, D. (2013). Optimal impulse control of a portfolio with a fixed transaction cost. Central European Journal of Operations Research, 22(2), 355–372. doi:10.1007/s10100-013-0304-9 

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